пятница, 4 февраля 2011 г.

Пример задачи ТЮФ


Ни для кого не секрет, что ТЮФ для современных школьников малодоступен во всех смыслах: для участия в очных мероприятиях требуются конкретные финансовые средства, информационная поддержка тоже оставляет желать лучшего. Много раз я встречался с ситуациями, когда участники были не осведомлены даже о регламенте турнира. Возникало ощущение, что до начала турнира люди вообще жили в изоляции от внешнего мира, а, учитывая отсутствие крупных достижений российской команды на международном турнире,  изоляцию страны от остального мира. Решать нестандартные задачи в одиночку тяжело, а начинать занятия Турниром в одиночку – практически не реально.

Поэтому, конечно, хотелось бы, чтобы участники оказывали поддержку друг другу. Если материальный вопрос нынче решить сложно, то, по крайней мере, оказывать информационную поддержку участникам вполне можно попробовать. Надеюсь, что такие меры помогут Турниру стать более популярным и поднять свой уровень.

Вариантов, как оказывать информационную поддержку, конечно, много. Поскольку интернет сейчас – самый дешевый способ общения, участники могут создавать интернет-сообщества и обмениваться опытом друг с другом в них. Такой вариант кажется мне наиболее логичным.

Впрочем, прежде следует выяснить, какое количество человек считает такую идею полезной. Сейчас я попробую описать решение и логику решения задачи, которой занимался мой ученик, по возможности, задавайте вопросы, комментируйте задачу, оставляйте замечания, если есть желание и возможность – хочу знать, насколько актуально обсуждение задач, стоит ли в будущем разворачивать проект интерактивного интернет-общения. Внизу этой страницы Вы найдете опрос, пожалуйста, поучаствуйте в нем. Ваше мнение мне очень важно!

Итак, начнем. Речь пойдет о задаче «ЛОМАЮЩИЕСЯ СПАГЕТТИ». Автор – ученик ФМЛ №239 Федор Смирнов.

Условие задачи звучит просто: «Найдите условия, при которых сухие спагетти (тонкая, длинная, круглая лапша) не ломаются при падении на твердый пол». Первый шаг решения – нужно интерпретировать задачу и формализовать ее. Решение любой задачи (физической, технической) требует получения в итоге некого числа. В обычных олимпиадных задачах Вам говорят, что нужно найти – скорость, температуру, силу тока, и.т.д. В конце задачи Вы соответственно пишите числовые значения этих величин (v=10м/с). В нестандартных задачах Турнира Вам нужно самому определить, значение какой величины Вы хотите получить в итоге. Также Вам нужно самому определить для себя условие задачи. Если в обычной олимпиадной задаче задаются начальные параметры (начальное положение тела, начальная температура, и.т.д.), то в задаче Турнира Вам нужно придумать эти условия самому. Это и есть формализация задачи – Вы определяете, какие физические величины Вам интересны и от каких они зависят. Выбрать итоговую физическую величину данной задачи довольно просто – вероятность спагетти сломаться. Выбор условий сложнее – нужно подумать, что влияет на результат. Температуру воздуха,  уровень излучения в помещении  - можно откинуть как несущественные. Допустим, мы будем проводить эксперименты с одним сортом спагетти. Т.е. отбрасываем его параметры собственно спагетти – длину, и.т.д. При желании мы могли бы включить эти параметры в список значимых начальных величин. Оставляем в итоге 2 самых значимых параметра: высота падения спагетти и угол к горизонту, под которым спагетти подлетает к поверхности при падении.

Когда следует проводить эксперимент? Вопрос не однозначный. Сначала можно определить, значения каких параметров нужно искать и затем приступать к эксперименту, можно определять, какие параметры значимые экспериментальным путем, как и было сделано в данной работе.

Что ж, вторым делом проведем эксперимент и определим, как зависит от задания начальных условий вероятность слома спагетти. Напомню, она определяется как процент сломавшихся спагетти от всего количества опытов, которые провели при постоянных условиях (постоянная высота падения и постоянный угол падения). Все эксперименты разумно проводить в две серии: сначала фиксируем угол падения и наблюдаем за зависимостью вероятности от начальной высоты; и наблюдаем за зависимостью вероятности от угла падения при фиксированной высоте падения. Итак, результаты, которые получили:  


Угол наклона спагетти в первом случае был равен 50 градусам над горизонталью, во втором случае высота составляла 2.7 метра. Экспериментальная установка была проста: спагетти закреплялось в тисках на нужной высоте под нужным углом, после резкого раскрытия тисков спагетти падало на поверхность, этот момент снимался на видео. К сожалению, во время падения спагетти часто меняли угол своего наклона, поэтому он в конечном счете определялся по заснятому материалу.

В результате аппроксимации (приближения) полученных зависимостей предположили, что в идеале графики будут выглядеть следующим образом:


Т.е. при заданном угле при достижении некоторой критической высоты (около 3.5м)  достаточный процент спагетти будет ломаться, чтобы сказать, что спагетти сломается наверняка. Аналогично при заданной высоте имеется некоторый диапазон углов, при которых спагетти ломается. Вот мы и получили искомый критерий слома спагетти – достижение определенной высоты и определенного угла наклона.

Теперь следовало бы теоретически обосновать полученные критерии, написать зависимость вероятности слома от высоты и угла падения. Но в данной ситуации это- сложная задача. Докажем вместо этого, что действительно можно заменить плавные кривые, которые мы получили в ходе эксперимента, на такие резкие функции.

Спагетти ломаются тогда, когда происходит их изгиб и спагетти прогибаются на достаточную длину. Введем критерий слома: спагетти ломаются, когда достигается критическая длина прогиба Xизг.

Введем характеристику высоты прогиба hизг : Xизг=hизг*cosα
Предположим, что высота изгиба меняется со временем как hизг=æ(p)*t, где æ(p) — коэффицент изгиба – условный коэффицент, зависящий только от импульса р и свойств спагетти, величина которого нам неизвестна, но может быть найдена экспериментально для каждого сорта спагетти.
Если предположить, что конец спагетти, касающийся поверхности, движется без трения, то время, которое проходит между моментами соприкосновений концов спагетти с поверхностью, задается формулой  t=L*sinα/V, где V –скорость, выражается через импульс V=P/m, L-длина спагетти.  

Тогда из всех формул получаем: Xизг=æ(p)/V*L*sinα*cosα=æ(p)/V*L/2*sin2α.

Представим себе, что мы зафиксировали угол наклона α. Тогда L/2*sin2α – постоянная величина, величина Xизг= зависит только от æ(p)/V, т.е. только от скорости спагетти в конце падения, т.е. только от начальной высоты падения и критический радиус изгиба достигается только при достижении критической высоты. Т.о. мы показали корректность введения понятия критической высоты на первом графике. 

Теперь зафиксируем высоту, а значит и конечную скорость при падении V, æ(p)/V*L/2 –постоянная величина и длина изгиба пропорциональна sin2α и достигает своего критического значения, когда достигает определенного значения величина sin2α, т.е. когда α находится в интервале между 2-мя критическими значениями. Т.о. мы показали корректность введения понятия критических углов на втором графике. 

Поясним, почему же экспериментальные графики не такие резкие, точнее почему теоретические не такие пологие. Вероятно, главная причина кроется в том, что не выполняются полностью наши теоретические предположения: нижник конец спагетти не всегда свободно скользит по поверхности, коэффициент изгиба зависит не только от импульса спагетти.

 В итоге, резюмируя, отметим: были определены параметры и их значения, при которых ломаются спагетти, теоретически обоснован подход введения критических параметров и определены погрешности, наиболее существенно влияющие не результаты работы.








1 комментарий:

  1. не плохо рассмотрел.. Думаю этот доклад заслуживает внимания!

    ОтветитьУдалить